DS 5. 경사하강법, Grident Descent
작성완료
import tensorflow as tf
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import tensorflow.experimental.numpy as tnp
tnp.experimental_enable_numpy_behavior()
- $loss= (\frac{1}{2}\beta -1)^2$를 최소로 하는 $\beta$를 컴퓨터를 통해 구하는 문제를 생각해보자. (답은 당연히 $\beta=2$)
(1) 임의의 초기값을 선정하고 loss를 계산한다.
- $\beta=10 \to loss(10)=(10/2-1)^2=16.0$
(10/2-1)**2
(2) 임의의 초기값에서 좌우로 약간씩 이동해보고 loss를 계산한다.
- 왼쪽으로 이동: $\beta=10.01,\quad loss(10.01)=16.040025$
- 오른쪽으로 이동: $\beta=9.99, \quad loss(9.99)=15.960025$
(10.01 /2 -1)**2
(9.99 /2 -1)**2
(3) (2)의 결과를 보고 어느쪽으로 이동하는것이 유리한지 따져보고 유리한 방향으로 이동한다.
유리한 방향: 절대값이 작은 쪽
- $\beta=9.99$ 로 이동
(4) (2)-(3) 의 과정을 반복한다. 왼쪽/오른쪽 모두 가봐도 유리한 지점이 없다면 알고리즘을 멈춘다.
- 알고리즘이 멈추는 지점은 $\beta=2$이다. $\beta=2$일 때 loss가 0이 되므로 왼쪽으로 가도, 오른쪽으로 가도 현재 loss보다 크기 때문이다.
- 이 알고리즘은 grid search의 단점을 극복함!
- $loss=(x\beta-y)^2$의 꼴에서 $[-10,10]$ 이외의 지점에 해가 존재하여도 적절하게 해를 찾을 것.
- 또한 비효율적으로 $\beta=2$ 이후에도 탐색을 반복하지 않음.
(1)의 의미: 임의의 초기값에서의 loss 계산(미분)
(2)의 의미: 미분을 하라는 뜻
(3)의 의미: update
(4)의 의미: 반복
- 미분계수의 의미
- 미분계수가 양수이다 -> 왼쪽으로 이동해야 = 마이너스 0.01
- 미분계수가 음수이다 -> 오른쪽으로 이동 = 플러스 0.01
- 수식화
$$\beta_{next} = \begin{cases} \beta_{old} - 0.01 & loss'(\beta_{old})>0 \\ \beta_{old} + 0.01 & loss'(\beta_{old})<0 \end{cases}$$
-
언제나 0.01씩 이동하는 것이 맞을까?
-
loss 값의 절대값이 크면(찾아야 할 베타값으로 부터 거리가 먼 값이라면) 0.01씩 이동해서 언제 다 이동하지?
-
절대값이 크면(찾아야 하는 베타값으로부터 거리가 먼 경우) 이동을 많이 하고 절대값이 작으면(찾아야 하는 베타값으로부터 거리가 가까운 경우) 이동을 적게 하는 알고리즘으로 개선하고싶음!
beta = np.linspace(-10,5)
plt.plot(beta,(beta/2-1)**2)
- 위 그림에서 $\beta=-10$ 일 경우의 접선의 기울기는 $-6$이고 $\beta=-4$ 일때 접선의 기울기는 $-3$이다.
$\because loss = (0.5\beta-1)^2 \to loss' = 0.5\beta-1$
- $\beta=-10$에서 0.01만큼 이동했다면 $\beta=-4$에서 0.005만큼 이동해야 한다.
- 개선한 알고리즘의 수식화
$$\beta_{next} \leftarrow \beta_{old} -\alpha \left[\frac{\partial}{\partial \beta} loss(\beta)\right]_{\beta=\beta_{old}}$$
- 전의 수식이랑 좀 달라보이지만 $\beta_{old}$를 이동시켜 $\beta_{next}$를 만든다는 개념은 동일!
- $\alpha>0$
- $\alpha$의 의미: 한 번 업데이트할때 움직이는 보폭(걸음걸이), 절대값이 크면 큰 보폭으로 걷고 절대값이 작으면 작은 보폭으로 걷는다!
- $\alpha=\frac{0.01}{6}$ 로 만약 설정하면 $\beta=-10$일때 오른쪽으로 $0.01$움직임
개선한 알고리즘을 이용한 풀이
- with문
beta= tf.Variable(-10.0)
with tf.GradientTape(persistent=True) as mytape:
loss= (beta/2-1)**2
mytape.gradient(loss,beta)
- $beta=-10$일 때 기울기(미분계수)가 $-6$이 나옴
beta= tf.Variable(-4.0)
with tf.GradientTape(persistent=True) as mytape:
loss= (beta/2-1)**2
mytape.gradient(loss,beta)
- $beta=-4$일 떄 기울기(미분계수)가 $-3$이 나옴
iter1: $beta=-10$ 출발해서 $0.01$ 이동!
beta= tf.Variable(-10.0)
with tf.GradientTape(persistent=True) as mytape:
loss= (beta/2-1)**2
mytape.gradient(loss,beta)
alpha=0.01/6
- -$α$이기 떄문에 beta.assign_sub를 이용!
beta.assign_sub(alpha*mytape.gradient(loss,beta))
- 10에서 이동하기 시작하여 -9.99가 되었음
iter2: $beta=-9.99$ 출발해서 다시 $0.01$ 이동!
beta= tf.Variable(-9.99)
with tf.GradientTape(persistent=True) as mytape:
loss= (beta/2-1)**2
beta.assign_sub(alpha*mytape.gradient(loss,beta))
- $-9.99$에서 $0.01$이동하여 $-9.98$이 되었음
iter3: 반복!
- for문
beta= tf.Variable(-10.0)
for k in range(10000):
with tf.GradientTape() as mytape:
loss=(beta/2 -1)**2
beta.assign_sub(alpha*mytape.gradient(loss,beta))
beta
- $10000$번 반복해보았더니 $beta$가 이론적인 값인 $2$에 가까운 값($1.997$)이 나왔음!
- $10000$번 반복이 아닌 $100$번 정도 반복해도 이론적인 값인 $2$에 가깝게 나올까?
beta= tf.Variable(-10.0)
for k in range(100):
with tf.GradientTape() as mytape:
loss=(beta/2 -1)**2
beta.assign_sub(alpha*mytape.gradient(loss,beta))
beta
- $2$와 거리가 먼 $-9$ 값이 나옴
- 그렇다면 $1000$번은 어떻까?
beta= tf.Variable(-10.0)
for k in range(1000):
with tf.GradientTape() as mytape:
loss=(beta/2 -1)**2
beta.assign_sub(alpha*mytape.gradient(loss,beta))
beta
-
아까보단 가까운 값($-3.2133$)이 나오긴 했음!
-
그런데 $1000$번을 반복해도 나오지 않은 건 좀...!
-
이는 설정한 alpha 값이 작기 때문! 즉 보폭이 작으니 많이 걸어야 하는 꼴..!
cf tf.Variable의 진가!
- 왜 써야하는지 의문이 들었던
tf.Variable()가 점점 이해되기 시작함 - 안 그래도 제외된 기능이 많은데 assign_sub, assign_add와 같은 기능이 있는 이유 -> 이것이 tf.Variable()의 목적이기 때문!!
- tf.Variable()에 다른 기능들이 없는 이유는 tf.Variable()의 목적을 이루는데 필요하지 않은 기능들이기 때문!
- tf.Gradient(persistent=False)가 default인 이유: 미분계산은 한 번하고 버리기 때문 !
- 목표: 아래의 학습과정을 시각화해보자.
beta = tf.Variable(-10.0)
alpha=0.01/6
for k in range(100):
with tf.GradientTape(persistent=True) as tape:
loss = (beta/2-1)**2
beta.assign_sub(alpha*tape.gradient(loss,beta))
beta
- 설정
from matplotlib import animation
plt.rcParams["animation.html"]="jshtml"
- 도화지(fig) & 네모틀(axes)
fig = plt.figure() # plt.figure()는 그림 물체를 만드는 함수이고 그림 물체의 이름을 fig로 지정
type(fig)
- Figure라는 타입을 갖는 물체임!
ax = fig.add_subplot() # fig.add_subplot는 네모틀(물체)을 만드는 함수이고 이를 ax(es)로 지정
fig
- 도화지와 네모틀는 포함관계에 있음.
fig.axes
fig.axes[0] # 원소가 추출됨
id(fig.axes[0])
id(ax)
fig
- 따라서 도화지를 출력하면 네모틀도 자동으로 출력됨
- 네모틀(ax)의 특수기능(=메소드)중에는 plot이 있음. 이것은 또 어떤 오브젝트를 생성함
point = ax.plot([1,2,3],[3,4,5],'or')
point
point[0]
point=point[0]
point
- 이는 다음 코드와 같다(튜플언패킹)
point, = ax.plot([1,2,3],[3,4,5],'or')
point
(1,)
1+2
(1,) + (2,)
a,b = [1,2]
a
b
a, = [1]
a
fig
- point는 오브젝트 -> x,y data를 변경해보자.
point.get_xdata()
- x data가 출력됨
point.get_ydata()
- y data가 출력됨
point.set_ydata([4,4,4])
- y data가 변경됨!
point.get_ydata()
fig
- 왜 기존 데이터가 사라지지 않았지..?
- 애니매이션
def animate(i):
if i%2 == 0:
point.set_ydata([3,4,5])
else:
point.set_ydata([4,4,4])
ani=animation.FuncAnimation(fig,animate,frames=30)
ani
</input>
시각화 예비학습 끝
- 한 번에 구현하기 힘드니 간단한 그림을 먼저 구현해보자!
- 곡선위의 세 점의 변화를 시각화해보자
beta_lst=[-10.0,-9.0,-8.0]
loss_lst=[(-10.0/2 -1)**2, (-9.0/2 -1)**2, (-8.0/2 -1)**2]
fig=plt.figure()
ax=fig.add_subplot()
- 곡선그리기
_beta= np.linspace(-15,19)
ax.plot(_beta,(_beta/2 -1)**2)
fig
- 점을 찍기
ax.plot(beta_lst[0],loss_lst[0],'ro')
fig
- 어떻게 애니메이션이 동작할지 정의하기
point, = ax.plot(beta_lst[0], loss_lst[0], 'ro')
fig
def animate(i):
point.set_xdata(beta_lst[:(i+1)])
point.set_ydata(loss_lst[:(i+1)])
ani=animation.FuncAnimation(fig,animate,frames=3)
ani
</input>
- 이제 이 과정을 학습해보자
beta = tf.Variable(-10.0)
alpha=0.01/6
for k in range(100):
with tf.GradientTape(persistent=True) as tape:
loss = (beta/2-1)**2
beta.assign_sub(alpha*tape.gradient(loss,beta))
beta
- 위 과정에 대한 애니메이션: 학습과정기록
- 비어있는 리스트
beta_lst=[]
loss_lst=[]
- beta & alpha 선언
beta = tf.Variable(-10.0)
alpha = 0.01/6
- beta 넘파이화
beta.numpy()
- for문에 쓰일 beta, loss 변경값
beta_lst.append(beta.numpy())
loss_lst.append((beta.numpy()/2 -1)**2)
beta_lst
loss_lst
- for문: 100번 반복
for k in range(100):
with tf.GradientTape() as mytape:
loss=(beta/2 -1)**2 # 로스 식
beta.assign_sub(alpha*mytape.gradient(loss,beta)) # 베타값 변경
beta_lst.append(beta.numpy()) # 변경된 베타값 넘파이화한 후 베타 리스트에 저장
loss_lst.append((beta.numpy()/2 -1)**2) # 변경된 베타값에 대한 로스값 넘파이화 후 로스 리스트에 저장
beta_lst[:20]
loss_lst[:20]
- 비어있던 베타리스트, 로스리스트에 값이 저장되어 있음
- 애니메이션
fig= plt.figure() # fig 선언
ax= fig.add_subplot()
_beta= np.linspace(-15,19) # 애니메이션에 쓰일 곡선 그리기
ax.plot(_beta,(_beta/2 -1)**2)
point, = ax.plot(beta_lst[0], loss_lst[0], 'ro') # fig에 애니메이션에서 움직일 점 찍기
fig
ani=animation.FuncAnimation(fig,animate,frames=100)
ani
</input>
- 넘 느리다..! 학습율을 높여보자!
- $α$가 $0.1$ 이면 어떨까?
beta_lst=[]
loss_lst=[]
beta = tf.Variable(-10.0)
alpha = 0.1
beta_lst.append(beta.numpy())
loss_lst.append((beta.numpy()/2 -1)**2)
for k in range(100):
with tf.GradientTape() as mytape:
loss=(beta/2 -1)**2 # 로스 식
beta.assign_sub(alpha*mytape.gradient(loss,beta)) # 베타값 변경
beta_lst.append(beta.numpy()) # 변경된 베타값 넘파이화한 후 베타 리스트에 저장
loss_lst.append((beta.numpy()/2 -1)**2) # 변경된 베타값에 대한 로스값 넘파이화 후 로스 리스트에 저장
fig= plt.figure() # fig 선언
ax= fig.add_subplot()
_beta= np.linspace(-15,19) # 애니메이션에 쓰일 곡선 그리기
ax.plot(_beta,(_beta/2 -1)**2)
point, = ax.plot(beta_lst[0], loss_lst[0], 'ro') # fig에 애니메이션에서 움직일 점 찍기
fig
ani=animation.FuncAnimation(fig,animate,frames=100)
ani
</input>
- 아까보다 훨 나음!
- 더 크게 하면 어떻게 될까?
- 이전보다 α를 훨씬키워 3.0 정도가 되면 어떻게 될까?
beta_lst=[]
loss_lst=[]
beta = tf.Variable(-10.0)
alpha = 3.9
beta_lst.append(beta.numpy())
loss_lst.append((beta.numpy()/2 -1)**2)
for k in range(100):
with tf.GradientTape() as mytape:
loss=(beta/2 -1)**2 # 로스 식
beta.assign_sub(alpha*mytape.gradient(loss,beta)) # 베타값 변경
beta_lst.append(beta.numpy()) # 변경된 베타값 넘파이화한 후 베타 리스트에 저장
loss_lst.append((beta.numpy()/2 -1)**2) # 변경된 베타값에 대한 로스값 넘파이화 후 로스 리스트에 저장
fig= plt.figure() # fig 선언
ax= fig.add_subplot()
_beta= np.linspace(-15,19) # 애니메이션에 쓰일 곡선 그리기
ax.plot(_beta,(_beta/2 -1)**2)
point, = ax.plot(beta_lst[0], loss_lst[0], 'ro') # fig에 애니메이션에서 움직일 점 찍기
fig
ani=animation.FuncAnimation(fig,animate,frames=100)
ani
</input>
- α가 너무 커 한 번에 반대 방향으로 이동했음
- 이 학습율 같은 경우는 비효율적이긴 하지만 최적의 베타값을 찾았으나, 이는 운이 좋은 경우임 !
- 다음 더 큰 α로 학습해보자!
- α가 4.05 때 학습
beta_lst=[]
loss_lst=[]
beta = tf.Variable(-10.0)
alpha = 4.05
beta_lst.append(beta.numpy())
loss_lst.append((beta.numpy()/2 -1)**2)
for k in range(100):
with tf.GradientTape() as mytape:
loss=(beta/2 -1)**2 # 로스 식
beta.assign_sub(alpha*mytape.gradient(loss,beta)) # 베타값 변경
beta_lst.append(beta.numpy()) # 변경된 베타값 넘파이화한 후 베타 리스트에 저장
loss_lst.append((beta.numpy()/2 -1)**2) # 변경된 베타값에 대한 로스값 넘파이화 후 로스 리스트에 저장
fig= plt.figure() # fig 선언
ax= fig.add_subplot()
_beta= np.linspace(-15,19) # 애니메이션에 쓰일 곡선 그리기
ax.plot(_beta,(_beta/2 -1)**2)
point, = ax.plot(beta_lst[0], loss_lst[0], 'ro') # fig에 애니메이션에서 움직일 점 찍기
fig
ani=animation.FuncAnimation(fig,animate,frames=100)
ani
</input>
- α가 너무 커 기울기의 절대값이 더 커지는 현상이 발생함!
- 학습율이 너무 크면 문제가 생긴다
beta_lst=[]
loss_lst=[]
beta = tf.Variable(5.0) # 반드시 소수형태로 표현!
alpha = 0.025
beta_lst.append(beta.numpy())
loss_lst.append((beta.numpy()-1)**2)
for k in range(100):
with tf.GradientTape() as mytape:
loss=(beta-1)**2 # 로스 식
beta.assign_sub(alpha*mytape.gradient(loss,beta)) # 베타값 변경
beta_lst.append(beta.numpy()) # 변경된 베타값 넘파이화한 후 베타 리스트에 저장
loss_lst.append((beta.numpy()-1)**2) # 변경된 베타값에 대한 로스값 넘파이화 후 로스 리스트에 저장
fig= plt.figure() # fig 선언
ax= fig.add_subplot()
_beta= np.linspace(-4,6) # 애니메이션에 쓰일 곡선 그리기
ax.plot(_beta,(_beta-1)**2)
point, = ax.plot(beta_lst[0], loss_lst[0], 'ro') # fig에 애니메이션에서 움직일 점 찍기
fig
ani=animation.FuncAnimation(fig,animate,frames=100)
ani
</input>
- $β$가 $5$에서 출발하여 $α=0.025$로 하여 $β=1$에 수렴
- $x=1$이다.
beta_lst[100]